ขอบคุณที่เข้าชม Nature.com เบราว์เซอร์ที่คุณใช้อยู่มีการรองรับ CSS อย่างจำกัด เพื่อประสบการณ์การใช้งานที่ดีที่สุด เราขอแนะนำให้คุณใช้เบราว์เซอร์เวอร์ชันล่าสุด (หรือปิดโหมดความเข้ากันได้ใน Internet Explorer) ในระหว่างนี้ เพื่อให้มั่นใจว่าเว็บไซต์จะยังคงได้รับการสนับสนุนต่อไป เราจะแสดงเว็บไซต์โดยไม่มีสไตล์และ JavaScript
การทดลองได้ดำเนินการในช่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ถูกปิดกั้นด้วยแท่งทรงกระบอกเอียงสี่แท่งในแนวขวาง วัดความดันบนพื้นผิวตรงกลางของแท่งและค่าความดันที่ลดลงตลอดช่องโดยการปรับมุมเอียงของแท่ง ทดสอบชุดแท่งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกันสามแบบ วิเคราะห์ผลการวัดโดยใช้หลักการอนุรักษ์โมเมนตัมและการพิจารณาเชิงกึ่งประจักษ์ สร้างชุดพารามิเตอร์ไร้มิติที่ไม่เปลี่ยนแปลงหลายชุดซึ่งเชื่อมโยงความดัน ณ ตำแหน่งวิกฤตของระบบกับมิติเฉพาะของแท่ง พบว่าหลักการความเป็นอิสระนั้นใช้ได้กับเลขออยเลอร์ส่วนใหญ่ที่บ่งบอกถึงความดัน ณ ตำแหน่งต่างๆ กล่าวคือ ถ้าความดันเป็นค่าไร้มิติโดยใช้การฉายภาพของความเร็วขาเข้าตั้งฉากกับแท่ง ชุดพารามิเตอร์นั้นจะไม่ขึ้นอยู่กับมุมเอียง ความสัมพันธ์เชิงกึ่งประจักษ์ที่ได้สามารถนำไปใช้ในการออกแบบระบบไฮดรอลิกที่คล้ายคลึงกันได้
อุปกรณ์ถ่ายเทความร้อนและมวลจำนวนมากประกอบด้วยชุดของโมดูล ช่อง หรือเซลล์ ซึ่งของเหลวไหลผ่านในโครงสร้างภายในที่ซับซ้อนมากหรือน้อย เช่น แท่ง บัฟเฟอร์ ตัวแทรก เป็นต้น เมื่อไม่นานมานี้ มีความสนใจเพิ่มขึ้นในการทำความเข้าใจกลไกที่เชื่อมโยงการกระจายแรงดันภายในและแรงที่กระทำต่อโครงสร้างภายในที่ซับซ้อนกับการลดลงของแรงดันโดยรวมของโมดูล ความสนใจนี้ได้รับแรงผลักดันจากนวัตกรรมในด้านวัสดุศาสตร์ การขยายขีดความสามารถในการคำนวณสำหรับการจำลองเชิงตัวเลข และการย่อขนาดของอุปกรณ์ที่เพิ่มมากขึ้น การศึกษาเชิงทดลองล่าสุดเกี่ยวกับการกระจายแรงดันภายในและการสูญเสีย ได้แก่ ช่องที่มีพื้นผิวขรุขระด้วยซี่โครงรูปทรงต่างๆ 1 เซลล์เครื่องปฏิกรณ์ไฟฟ้าเคมี 2 การหดตัวของเส้นเลือดฝอย 3 และวัสดุโครงสร้างตาข่าย 4
โครงสร้างภายในที่พบได้บ่อยที่สุดคือแท่งทรงกระบอกที่ประกอบเป็นโมดูล ไม่ว่าจะรวมกันหรือแยกกัน ในเครื่องแลกเปลี่ยนความร้อน การกำหนดค่าแบบนี้มักพบได้ในด้านเปลือก การลดลงของความดันด้านเปลือกมีความเกี่ยวข้องกับการออกแบบเครื่องแลกเปลี่ยนความร้อน เช่น เครื่องกำเนิดไอน้ำ คอนเดนเซอร์ และเครื่องระเหย ในการศึกษาล่าสุด Wang et al. 5 พบสถานะการไหลแบบยึดติดและแยกตัวร่วมกันในโครงสร้างแท่งแบบเรียงต่อกัน Liu et al.6 วัดการลดลงของความดันในช่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีชุดท่อรูปตัวยูคู่แบบฝังตัวที่มีมุมเอียงต่างกัน และปรับเทียบแบบจำลองเชิงตัวเลขที่จำลองชุดแท่งที่มีตัวกลางพรุน
ตามที่คาดไว้ มีปัจจัยการกำหนดค่าหลายประการที่ส่งผลต่อประสิทธิภาพทางไฮดรอลิกของกลุ่มกระบอกสูบ ได้แก่ ประเภทของการจัดเรียง (เช่น แบบสลับหรือแบบเรียงแถว) มิติสัมพัทธ์ (เช่น ระยะห่างระหว่างรูพรุน เส้นผ่านศูนย์กลาง ความยาว) และมุมเอียง เป็นต้น ผู้เขียนหลายท่านมุ่งเน้นไปที่การค้นหาเกณฑ์ไร้มิติเพื่อเป็นแนวทางในการออกแบบเพื่อจับผลกระทบรวมของพารามิเตอร์ทางเรขาคณิต ในการศึกษาเชิงทดลองล่าสุด Kim et al. 7 ได้เสนอแบบจำลองความพรุนที่มีประสิทธิภาพโดยใช้ความยาวของเซลล์หน่วยเป็นพารามิเตอร์ควบคุม โดยใช้การจัดเรียงแบบเรียงแถวและแบบสลับ และเลขเรย์โนลด์ระหว่าง 103 ถึง 104 Snarski8 ศึกษาว่าสเปกตรัมกำลังจากเครื่องวัดความเร่งและไฮโดรโฟนที่ติดอยู่กับกระบอกสูบในอุโมงค์น้ำเปลี่ยนแปลงอย่างไรตามความเอียงของทิศทางการไหล Marino et al. 9 ศึกษาการกระจายแรงดันผนังรอบแท่งทรงกระบอกในกระแสลมหมุน Mityakov et al. 10 พล็อตสนามความเร็วหลังจากกระบอกสูบหมุนโดยใช้ PIV แบบสเตอริโอ Alam et al. งานวิจัยหมายเลข 11 ได้ทำการศึกษาอย่างครอบคลุมเกี่ยวกับทรงกระบอกคู่ โดยเน้นที่ผลกระทบของเลขเรย์โนลด์และอัตราส่วนทางเรขาคณิตต่อการเกิดกระแสน้ำวน พวกเขาสามารถระบุสถานะได้ห้าสถานะ ได้แก่ การล็อก การล็อกแบบไม่ต่อเนื่อง การไม่ล็อก การล็อกแบบซับฮาร์มอนิก และการกลับมาเกาะติดของชั้นเฉือน งานวิจัยเชิงตัวเลขล่าสุดชี้ให้เห็นถึงการก่อตัวของโครงสร้างกระแสน้ำวนในการไหลผ่านทรงกระบอกที่มีการจำกัดมุมเอียง
โดยทั่วไป ประสิทธิภาพทางไฮดรอลิกของเซลล์หน่วยคาดว่าจะขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าและรูปทรงเรขาคณิตของโครงสร้างภายใน ซึ่งโดยปกติจะวัดได้จากความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ของการวัดเชิงทดลองเฉพาะ ในอุปกรณ์หลายชนิดที่ประกอบด้วยส่วนประกอบเป็นระยะ รูปแบบการไหลจะซ้ำกันในแต่ละเซลล์ ดังนั้น ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับเซลล์ตัวแทนจึงสามารถใช้เพื่อแสดงพฤติกรรมทางไฮดรอลิกโดยรวมของโครงสร้างผ่านแบบจำลองหลายระดับ ในกรณีสมมาตรเหล่านี้ ระดับความเฉพาะเจาะจงที่ใช้หลักการอนุรักษ์ทั่วไปมักจะลดลง ตัวอย่างทั่วไปคือสมการการระบายสำหรับแผ่นรู 15 ในกรณีพิเศษของแท่งเอียง ไม่ว่าจะอยู่ในการไหลแบบจำกัดหรือแบบเปิด เกณฑ์ที่น่าสนใจที่มักอ้างถึงในวรรณกรรมและใช้โดยนักออกแบบคือขนาดทางไฮดรอลิกที่เด่น (เช่น การลดลงของความดัน แรง ความถี่ของการเกิดกระแสน้ำวน ฯลฯ) ต่อส่วนประกอบการไหลที่ตั้งฉากกับแกนกระบอกสูบ สิ่งนี้มักเรียกว่าหลักการความเป็นอิสระและสมมติว่าพลศาสตร์การไหลถูกขับเคลื่อนโดยส่วนประกอบปกติของการไหลเข้าเป็นหลัก และผลกระทบของ ส่วนประกอบตามแนวแกนที่จัดเรียงตามแกนของทรงกระบอกนั้นมีค่าเล็กน้อย แม้ว่าจะไม่มีข้อสรุปในเอกสารทางวิชาการเกี่ยวกับช่วงความถูกต้องของเกณฑ์นี้ แต่ในหลายกรณี เกณฑ์นี้ให้ค่าประมาณที่เป็นประโยชน์ภายในความไม่แน่นอนของการทดลองซึ่งเป็นเรื่องปกติของความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ การศึกษาล่าสุดเกี่ยวกับความถูกต้องของหลักการอิสระ ได้แก่ การสั่นสะเทือนที่เกิดจากกระแสน้ำวน16 และแรงต้านเฉลี่ยแบบเฟสเดียวและสองเฟส417
ในงานวิจัยนี้ นำเสนอผลการศึกษาเกี่ยวกับความดันภายในและการลดลงของความดันในช่องที่มีแท่งทรงกระบอกเอียงสี่แท่งวางขวางอยู่ โดยทำการวัดชุดแท่งสามชุดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน และเปลี่ยนมุมเอียง เป้าหมายโดยรวมคือการตรวจสอบกลไกที่การกระจายความดันบนพื้นผิวของแท่งมีความสัมพันธ์กับการลดลงของความดันโดยรวมในช่อง ข้อมูลจากการทดลองได้รับการวิเคราะห์โดยใช้สมการของเบอร์นูลลีและหลักการอนุรักษ์โมเมนตัมเพื่อประเมินความถูกต้องของหลักการความเป็นอิสระ สุดท้ายนี้ ได้สร้างความสัมพันธ์กึ่งเชิงประจักษ์แบบไร้มิติที่สามารถนำไปใช้ในการออกแบบอุปกรณ์ไฮดรอลิกที่คล้ายกันได้
ชุดอุปกรณ์ทดลองประกอบด้วยส่วนทดสอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่รับกระแสลมจากพัดลมแบบแกนหมุน ส่วนทดสอบประกอบด้วยหน่วยที่ประกอบด้วยแท่งกลางขนานสองแท่งและแท่งครึ่งสองแท่งที่ฝังอยู่ในผนังช่อง ดังแสดงในรูปที่ 1e โดยทั้งหมดมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน รูปที่ 1a–e แสดงรูปทรงเรขาคณิตและขนาดโดยละเอียดของแต่ละส่วนของชุดอุปกรณ์ทดลอง รูปที่ 3 แสดงชุดอุปกรณ์กระบวนการ
a. ส่วนทางเข้า (ความยาวเป็นมิลลิเมตร) สร้างด้วย Openscad 2021.01, openscad.org b. ส่วนทดสอบหลัก (ความยาวเป็นมิลลิเมตร) สร้างด้วย Openscad 2021.01, openscad.org c. มุมมองภาคตัดขวางของส่วนทดสอบหลัก (ความยาวเป็นมิลลิเมตร) สร้างด้วย Openscad 2021.01, openscad.org d. ส่วนส่งออก (ความยาวเป็นมิลลิเมตร) สร้างด้วย Openscad 2021.01, มุมมองแบบแยกชิ้นส่วนของส่วนทดสอบจาก openscad.org e. สร้างด้วย Openscad 2021.01, openscad.org
ได้ทำการทดสอบแท่งโลหะสามชุดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน ตารางที่ 1 แสดงลักษณะทางเรขาคณิตของแต่ละกรณี แท่งโลหะถูกติดตั้งบนไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อให้มุมของแท่งโลหะเทียบกับทิศทางการไหลสามารถเปลี่ยนแปลงได้ระหว่าง 90° ถึง 30° (รูปที่ 1b และ 3) แท่งโลหะทั้งหมดทำจากสแตนเลสและจัดวางให้อยู่ตรงกลางเพื่อรักษาระยะห่างระหว่างแท่งโลหะให้เท่ากัน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของแท่งโลหะถูกกำหนดโดยตัวเว้นระยะสองตัวที่อยู่นอกส่วนทดสอบ
อัตราการไหลเข้าของส่วนทดสอบถูกวัดโดยใช้เวนทูรีที่สอบเทียบแล้ว ดังแสดงในรูปที่ 2 และตรวจสอบโดยใช้ DP Cell Honeywell SCX อุณหภูมิของของเหลวที่ทางออกของส่วนทดสอบถูกวัดด้วยเทอร์โมมิเตอร์ PT100 และควบคุมไว้ที่ 45±1°C เพื่อให้แน่ใจว่าการกระจายความเร็วเป็นแบบระนาบและลดระดับความปั่นป่วนที่ทางเข้าของช่อง น้ำที่ไหลเข้ามาจะถูกบังคับให้ไหลผ่านตะแกรงโลหะสามอัน ระยะห่างระหว่างตะแกรงสุดท้ายกับแท่งประมาณ 4 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางไฮดรอลิก และความยาวของทางออกคือ 11 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางไฮดรอลิก
แผนภาพแสดงโครงสร้างของท่อเวนทูรีที่ใช้ในการวัดความเร็วการไหลเข้า (ความยาวเป็นมิลลิเมตร) สร้างด้วย Openscad 2021.01, openscad.org
ตรวจสอบแรงดันบนด้านใดด้านหนึ่งของแกนกลางโดยใช้แทปวัดแรงดันขนาด 0.5 มม. ที่ระนาบกลางของส่วนทดสอบ เส้นผ่านศูนย์กลางของแทปวัดสอดคล้องกับช่วงเชิงมุม 5° ดังนั้นความแม่นยำเชิงมุมจึงอยู่ที่ประมาณ 2° แกนที่ตรวจสอบสามารถหมุนรอบแกนของมันได้ ดังแสดงในรูปที่ 3 ความแตกต่างระหว่างแรงดันบนพื้นผิวแกนและแรงดันที่ทางเข้าส่วนทดสอบจะถูกวัดด้วยเซลล์ DP แบบดิฟเฟอเรนเชียล Honeywell SCX series ความแตกต่างของแรงดันนี้จะถูกวัดสำหรับแต่ละการจัดเรียงแท่ง โดยมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วการไหล มุมเอียง α และมุมอะซิมุธ θ
การตั้งค่าการไหล ผนังช่องแสดงเป็นสีเทา การไหลไหลจากซ้ายไปขวาและถูกกั้นด้วยแท่ง โปรดสังเกตว่ามุมมอง “A” ตั้งฉากกับแกนของแท่ง แท่งด้านนอกฝังอยู่ครึ่งหนึ่งในผนังช่องด้านข้าง ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ในการวัดมุมเอียง α สร้างด้วย Openscad 2021.01, openscad.org
จุดประสงค์ของการทดลองคือการวัดและตีความความแตกต่างของความดันระหว่างทางเข้าของช่องและแรงดันบนพื้นผิวของแกนกลาง \(\theta\) และ \(\alpha\) สำหรับมุมอะซิมุธและมุมเอียงที่แตกต่างกัน โดยสรุปแล้ว ความแตกต่างของความดันจะแสดงในรูปแบบไร้หน่วยเป็นเลขของออยเลอร์:
โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของของเหลว, uᵢ คือความเร็วเฉลี่ยขาเข้า, pi คือความดันขาเข้า และ w คือความดัน ณ จุดใดจุดหนึ่งบนผนังแท่ง ความเร็วขาเข้าถูกกำหนดไว้ในสามช่วงที่แตกต่างกัน ซึ่งกำหนดโดยการเปิดวาล์วขาเข้า ความเร็วที่ได้จะมีค่าตั้งแต่ 6 ถึง 10 เมตร/วินาที ซึ่งสอดคล้องกับเลขเรย์โนลด์ของช่อง (Re ≡ uᵢH/nu) (โดยที่ H คือความสูงของช่อง และ nu คือความหนืดจลน์) ระหว่าง 40,000 ถึง 67,000 เลขเรย์โนลด์ของแท่ง (Re ≡ uᵢd/nu) มีค่าตั้งแต่ 2500 ถึง 6500 ความเข้มของความปั่นป่วนประเมินโดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์ของ โดยเฉลี่ยแล้ว สัญญาณที่บันทึกได้ในเวนทูรีอยู่ที่ 5%
รูปที่ 4 แสดงความสัมพันธ์ของ \({Eu}_{w}\) กับมุมอะซิมุธ \(\theta \) ซึ่งกำหนดโดยมุมเอียงสามมุม คือ \(\alpha \) = 30°, 50° และ 70° การวัดถูกแบ่งออกเป็นสามกราฟตามเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่ง จะเห็นได้ว่าภายในความคลาดเคลื่อนของการทดลอง ค่าเลขออยเลอร์ที่ได้นั้นไม่ขึ้นอยู่กับอัตราการไหล ความสัมพันธ์ทั่วไปกับ θ เป็นไปตามแนวโน้มปกติของความดันผนังรอบเส้นรอบวงของสิ่งกีดขวางทรงกลม ที่มุมที่หันเข้าหาการไหล กล่าวคือ θ ตั้งแต่ 0 ถึง 90° ความดันผนังแท่งจะลดลงจนถึงค่าต่ำสุดที่ 90° ซึ่งสอดคล้องกับช่องว่างระหว่างแท่งที่ความเร็วสูงสุดเนื่องจากข้อจำกัดของพื้นที่การไหล ต่อมาความดันจะฟื้นตัวที่ θ ตั้งแต่ 90° ถึง 100° หลังจากนั้นความดันจะคงที่เนื่องจากการแยกตัวของชั้นขอบด้านหลังของผนังแท่ง หมายเหตุ พบว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลงในมุมของแรงดันต่ำสุด ซึ่งบ่งชี้ว่าการรบกวนที่อาจเกิดขึ้นจากชั้นเฉือนที่อยู่ติดกัน เช่น ปรากฏการณ์โคอันดา เป็นผลรอง
การเปลี่ยนแปลงของค่าเลขออยเลอร์ของผนังรอบแท่งโลหะสำหรับมุมเอียงและเส้นผ่านศูนย์กลางแท่งโลหะที่แตกต่างกัน สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info
ต่อไปนี้ เราจะวิเคราะห์ผลลัพธ์โดยอาศัยสมมติฐานที่ว่า ค่าเลขออยเลอร์สามารถประมาณได้จากพารามิเตอร์ทางเรขาคณิตเท่านั้น กล่าวคือ อัตราส่วนความยาวของลักษณะเฉพาะ \(d/g\) และ \(d/H\) (โดยที่ \(H\) คือความสูงของช่อง) และความเอียง \(\alpha \) กฎทั่วไปที่นิยมใช้ในทางปฏิบัติระบุว่า แรงโครงสร้างของของไหลบนแท่งหมุนถูกกำหนดโดยการฉายภาพของความเร็วขาเข้าตั้งฉากกับแกนของแท่ง \({u}_{n}={u}_{i}\mathrm {sin} \alpha \) ซึ่งบางครั้งเรียกว่าหลักการความเป็นอิสระ หนึ่งในเป้าหมายของการวิเคราะห์ต่อไปนี้คือการตรวจสอบว่าหลักการนี้ใช้ได้กับกรณีของเราหรือไม่ ซึ่งการไหลและสิ่งกีดขวางถูกจำกัดอยู่ภายในช่องปิด
ให้เราพิจารณาความดันที่วัดได้ที่ด้านหน้าของพื้นผิวแท่งกลาง นั่นคือ θ = 0 ตามสมการของเบอร์นูลลี ความดันที่ตำแหน่งนี้\({p}_{o}\) จะเป็นไปตามเงื่อนไขดังนี้:
โดยที่ \({u}_{o}\) คือความเร็วของของไหลใกล้ผนังแท่งที่ θ = 0 และเราสมมติว่าการสูญเสียที่ไม่สามารถย้อนกลับได้นั้นค่อนข้างน้อย โปรดทราบว่าความดันไดนามิกไม่ขึ้นอยู่กับเทอมพลังงานจลน์ หาก \({u}_{o}\) ว่างเปล่า (เช่น สภาวะหยุดนิ่ง) ตัวเลขออยเลอร์ควรจะรวมกัน อย่างไรก็ตาม สามารถสังเกตได้ในรูปที่ 4 ว่าที่ \(\theta =0\) ค่า \({Eu}_{w}\) ที่ได้นั้นใกล้เคียงกับค่านี้ แต่ไม่เท่ากับค่านี้อย่างแน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับมุมเอียงที่มากขึ้น นี่แสดงให้เห็นว่าความเร็วบนพื้นผิวแท่งไม่ได้เป็นศูนย์ที่ \(\theta =0\) ซึ่งอาจถูกกดไว้โดยการเบี่ยงเบนขึ้นด้านบนของเส้นกระแสที่เกิดจากการเอียงของแท่ง เนื่องจากกระแสถูกจำกัดอยู่ที่ด้านบนและด้านล่างของส่วนทดสอบ การเบี่ยงเบนนี้ควรสร้างการไหลเวียนย้อนกลับรอง ทำให้ความเร็วตามแนวแกนที่ด้านล่างเพิ่มขึ้นและความเร็วที่ด้านบนลดลง สมมติว่า ขนาดของการโก่งตัวข้างต้นคือการฉายภาพของความเร็วขาเข้าบนเพลา (เช่น \({u}_{i}\mathrm{cos}\alpha \)) ผลลัพธ์ของเลขออยเลอร์ที่สอดคล้องกันคือ:
รูปที่ 5 เปรียบเทียบสมการ (3) แสดงให้เห็นว่ามีความสอดคล้องที่ดีกับข้อมูลการทดลองที่เกี่ยวข้อง ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยอยู่ที่ 25% และระดับความเชื่อมั่นอยู่ที่ 95% โปรดทราบว่าสมการ (3) สอดคล้องกับหลักการความเป็นอิสระ ในทำนองเดียวกัน รูปที่ 6 แสดงให้เห็นว่าเลขออยเลอร์สอดคล้องกับความดันบนพื้นผิวด้านหลังของแท่ง \({p}_{180}\) และที่ทางออกของส่วนทดสอบ \({p}_{e}\) ยังเป็นไปตามแนวโน้มที่เป็นสัดส่วนกับ \({\mathrm{sin}}^{2}\alpha \) อย่างไรก็ตาม ในทั้งสองกรณี สัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่ง ซึ่งสมเหตุสมผลเนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นตัวกำหนดพื้นที่ที่ถูกกีดขวาง คุณลักษณะนี้คล้ายกับการลดลงของความดันของแผ่นรูพรุน ซึ่งช่องทางการไหลลดลงบางส่วนที่ตำแหน่งเฉพาะ ในส่วนทดสอบนี้ บทบาทของรูพรุนนั้นเล่นโดยช่องว่างระหว่างแท่ง ในกรณีนี้ ความดันลดลงอย่างมากที่จุดลดความดันและฟื้นตัวบางส่วนเมื่อ ขยายไปด้านหลัง เมื่อพิจารณาข้อจำกัดเป็นการปิดกั้นที่ตั้งฉากกับแกนของแท่ง ความดันลดลงระหว่างด้านหน้าและด้านหลังของแท่งสามารถเขียนได้ดังนี้ 18:
โดยที่ \({c}_{d}\) คือสัมประสิทธิ์แรงต้านที่อธิบายการฟื้นตัวของความดันย่อยระหว่าง θ = 90° และ θ = 180° และ \({A}_{m}\) และ \({A}_{f}\) คือพื้นที่หน้าตัดอิสระขั้นต่ำต่อหน่วยความยาวที่ตั้งฉากกับแกนของแท่ง และความสัมพันธ์กับเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่งคือ \({A}_{f}/{A}_{m}=\ ​​Left (g+d\right)/g\) เลขออยเลอร์ที่สอดคล้องกันคือ:
หมายเลขวอลล์ออยเลอร์ที่ \(\theta =0\) เป็นฟังก์ชันของมุมเอียง เส้นโค้งนี้สอดคล้องกับสมการ (3) สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info
ค่าเลขออยเลอร์ของผนังเปลี่ยนแปลงไปในทิศทาง \(\theta =18{0}^{o}\) (เครื่องหมายเต็ม) และออก (เครื่องหมายว่าง) พร้อมกับการเอียง เส้นโค้งเหล่านี้สอดคล้องกับหลักการความเป็นอิสระ กล่าวคือ \(Eu\propto {\mathrm{sin}}^{2}\alpha \). สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info
รูปที่ 7 แสดงความสัมพันธ์ของ \({Eu}_{0-180}/{\mathrm{sin}}^{2}\alpha \) กับ \(d/g\) ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องที่ดีเยี่ยม (5) ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านที่ได้คือ \({c}_{d}=1.28\pm 0.02\) โดยมีระดับความเชื่อมั่น 67% ในทำนองเดียวกัน กราฟเดียวกันนี้ยังแสดงให้เห็นว่าการลดลงของความดันรวมระหว่างทางเข้าและทางออกของส่วนทดสอบมีแนวโน้มที่คล้ายกัน แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกันซึ่งคำนึงถึงการฟื้นตัวของความดันในพื้นที่ด้านหลังระหว่างแท่งและทางออกของช่อง ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านที่สอดคล้องกันคือ \({c}_{d}=1.00\pm 0.05\) โดยมีระดับความเชื่อมั่น 67%
ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านมีความสัมพันธ์กับความดันลดลง d/g ทั้งด้านหน้าและด้านหลังของแท่ง (Eu₀-180) และความดันลดลงทั้งหมดระหว่างทางเข้าและทางออกของช่อง พื้นที่สีเทาคือช่วงความเชื่อมั่น 67% สำหรับความสัมพันธ์ สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info
แรงดันต่ำสุด \({p}_{90}\) บนพื้นผิวของแท่งที่ θ = 90° จำเป็นต้องมีการจัดการเป็นพิเศษ ตามสมการของเบอร์นูลลี แรงดันที่จุดศูนย์กลาง \({p}_{g}\) และความเร็ว \({u}_{g}\) ในช่องว่างระหว่างแท่ง (ซึ่งตรงกับจุดกึ่งกลางของช่อง) ตามแนวเส้นกระแสที่ไหลผ่านช่องว่างระหว่างแท่งนั้นมีความสัมพันธ์กับปัจจัยต่อไปนี้:
ความดัน \({p}_{g}\) สามารถเชื่อมโยงกับความดันบนพื้นผิวของแท่งที่ θ = 90° ได้โดยการอินทิเกรตการกระจายความดันเหนือช่องว่างที่แยกแท่งกลางระหว่างจุดกึ่งกลางกับผนัง (ดูรูปที่ 8) สมดุลของพลังงานให้ผลลัพธ์ดังนี้ 19:
โดยที่ y คือพิกัดตั้งฉากกับพื้นผิวของแท่งจากจุดศูนย์กลางของช่องว่างระหว่างแท่งกลาง และ K คือความโค้งของเส้นกระแสที่ตำแหน่ง y สำหรับการประเมินความดันบนพื้นผิวของแท่งด้วยวิธีวิเคราะห์ เราสมมติว่า ug มีค่าสม่ำเสมอและ K(y) มีค่าเชิงเส้น สมมติฐานเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบแล้วด้วยการคำนวณเชิงตัวเลข ที่ผนังของแท่ง ความโค้งจะถูกกำหนดโดยส่วนตัดวงรีของแท่งที่มุม α นั่นคือ K(g/2) = (2/d)sin²α (ดูรูปที่ 8) จากนั้น เมื่อพิจารณาความโค้งของเส้นกระแสที่หายไปที่ y=0 เนื่องมาจากสมมาตร ความโค้งที่พิกัดสากล y จะกำหนดโดย:
ภาพตัดขวางแสดงรายละเอียดด้านหน้า (ซ้าย) และด้านบน (ล่าง) สร้างด้วย Microsoft Word 2019
ในทางกลับกัน โดยหลักการอนุรักษ์มวล ความเร็วเฉลี่ยในระนาบที่ตั้งฉากกับการไหล ณ ตำแหน่งการวัด \(\langle {u}_{g}\rangle \) จะมีความสัมพันธ์กับความเร็วขาเข้า:
โดยที่ \({A}_{i}\) คือพื้นที่หน้าตัดการไหลที่ทางเข้าของช่อง และ \({A}_{g}\) คือพื้นที่หน้าตัดการไหลที่ตำแหน่งการวัด (ดูรูปที่ 8) ตามลำดับ ดังนี้:
โปรดทราบว่า \({u}_{g}\) ไม่เท่ากับ \(\langle {u}_{g}\rangle \) ในความเป็นจริง รูปที่ 9 แสดงอัตราส่วนความเร็ว \({u}_{g}/\langle {u}_{g}\rangle \) ซึ่งคำนวณโดยสมการ (10)–(14) โดยพล็อตตามอัตราส่วน \(d/g\) แม้ว่าจะมีความไม่ต่อเนื่องบ้าง แต่ก็สามารถระบุแนวโน้มได้ ซึ่งประมาณโดยพหุนามอันดับสอง:
อัตราส่วนของความเร็วสูงสุด\({u}_{g}\) และความเร็วเฉลี่ย\(\langle {u}_{g}\rangle \) ของหน้าตัดตรงกลางช่องทาง\(.\) เส้นทึบและเส้นประสอดคล้องกับสมการ (5) และช่วงการเปลี่ยนแปลงของสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้อง\(\pm 25\%\). สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info.
รูปที่ 10 เปรียบเทียบ \({Eu}_{90}\) กับผลการทดลองของสมการ (16) ค่าเบี่ยงเบนสัมพัทธ์เฉลี่ยอยู่ที่ 25% และระดับความเชื่อมั่นอยู่ที่ 95%
หมายเลข Wall Euler ที่ \(\theta ={90}^{o}\) เส้นโค้งนี้สอดคล้องกับสมการ (16) สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info
แรงลัพธ์ \({f}_{n}\) ที่กระทำต่อแกนกลางในแนวตั้งฉากกับแกนของมัน สามารถคำนวณได้โดยการอินทิเกรตความดันบนพื้นผิวของแกน ดังนี้:
โดยที่สัมประสิทธิ์ตัวแรกคือความยาวของแท่งภายในช่อง และการอินทิเกรตจะดำเนินการระหว่าง 0 ถึง 2π
การฉายภาพของ \({f}_{n}\) ในทิศทางการไหลของน้ำควรตรงกับแรงดันระหว่างทางเข้าและทางออกของช่อง เว้นแต่แรงเสียดทานขนานกับแท่งและมีขนาดเล็กกว่าเนื่องจากการพัฒนาที่ไม่สมบูรณ์ของส่วนหลัง ฟลักซ์โมเมนตัมจึงไม่สมดุล ดังนั้น
รูปที่ 11 แสดงกราฟของสมการ (20) แสดงให้เห็นความสอดคล้องกันที่ดีสำหรับทุกเงื่อนไขการทดลอง อย่างไรก็ตาม มีความเบี่ยงเบนเล็กน้อย 8% ทางด้านขวา ซึ่งสามารถระบุและใช้เป็นค่าประมาณของความไม่สมดุลของโมเมนตัมระหว่างทางเข้าและทางออกของช่อง
สมดุลพลังงานช่องสัญญาณ เส้นนี้สอดคล้องกับสมการ (20) ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สันคือ 0.97 สร้างด้วย Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info
โดยการปรับมุมเอียงของแท่งโลหะ ได้ทำการวัดความดันที่ผนังผิวของแท่งโลหะและการลดลงของความดันในช่องที่มีเส้นขวางของแท่งทรงกระบอกเอียงทั้งสี่แท่ง ได้ทำการทดสอบชุดแท่งโลหะที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกันสามแบบ ในช่วงเลขเรย์โนลด์ที่ทดสอบระหว่าง 2500 ถึง 6500 เลขออยเลอร์จะไม่ขึ้นอยู่กับอัตราการไหล ความดันบนผิวกลางของแท่งโลหะเป็นไปตามแนวโน้มปกติที่พบในทรงกระบอก โดยมีค่าสูงสุดที่ด้านหน้าและค่าต่ำสุดที่ช่องว่างด้านข้างระหว่างแท่งโลหะ และจะกลับคืนสู่ค่าเดิมที่ส่วนท้ายเนื่องจากการแยกตัวของชั้นขอบเขต
ข้อมูลจากการทดลองจะถูกวิเคราะห์โดยใช้หลักการอนุรักษ์โมเมนตัมและการประเมินแบบกึ่งเชิงประจักษ์ เพื่อหาตัวเลขไร้มิติที่ไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งเชื่อมโยงตัวเลขของออยเลอร์กับมิติเฉพาะของช่องและแท่ง โดยลักษณะทางเรขาคณิตทั้งหมดของการปิดกั้นจะแสดงอย่างครบถ้วนด้วยอัตราส่วนระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่งและช่องว่างระหว่างแท่ง (ในแนวราบ) และความสูงของช่อง (ในแนวตั้ง)
พบว่าหลักการความเป็นอิสระนั้นใช้ได้กับเลขออยเลอร์ส่วนใหญ่ที่บ่งบอกถึงความดันในตำแหน่งต่างๆ กล่าวคือ หากความดันไม่มีมิติโดยใช้การฉายภาพของความเร็วขาเข้าที่ตั้งฉากกับแท่ง เซตนั้นจะไม่ขึ้นอยู่กับมุมเอียง นอกจากนี้ คุณสมบัตินี้ยังเกี่ยวข้องกับมวลและโมเมนตัมของการไหล สมการอนุรักษ์มีความสอดคล้องกันและสนับสนุนหลักการเชิงประจักษ์ข้างต้น มีเพียงความดันที่ผิวแท่งในช่องว่างระหว่างแท่งเท่านั้นที่เบี่ยงเบนเล็กน้อยจากหลักการนี้ มีการสร้างความสัมพันธ์กึ่งเชิงประจักษ์ที่ไม่มีมิติซึ่งสามารถใช้ในการออกแบบอุปกรณ์ไฮดรอลิกที่คล้ายกันได้ แนวทางแบบคลาสสิกนี้สอดคล้องกับการประยุกต์ใช้สมการเบอร์นูลลีในด้านไฮดรอลิกและพลศาสตร์ของเลือดที่รายงานเมื่อเร็วๆ นี้20,21,22,23,24
ผลลัพธ์ที่น่าสนใจเป็นพิเศษเกิดจากการวิเคราะห์ความแตกต่างของความดันระหว่างทางเข้าและทางออกของส่วนทดสอบ ภายในความคลาดเคลื่อนของการทดลอง ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านที่ได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง ซึ่งบ่งชี้ว่ามีพารามิเตอร์คงที่ดังต่อไปนี้:
โปรดสังเกตขนาด \(\left(d/g+2\right)d/g\) ในตัวส่วนของสมการ (23) ซึ่งเป็นขนาดในวงเล็บในสมการ (4) มิฉะนั้นจะสามารถคำนวณได้ด้วยหน้าตัดขั้นต่ำและอิสระที่ตั้งฉากกับแท่ง \({A}_{m}\) และ \({A}_{f}\) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเลขเรย์โนลด์จะถูกสมมติให้อยู่ในช่วงของการศึกษาปัจจุบัน (40,000-67,000 สำหรับช่อง และ 2500-6500 สำหรับแท่ง) สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าหากมีความแตกต่างของอุณหภูมิภายในช่อง อาจส่งผลต่อความหนาแน่นของของเหลว ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของเลขออยเลอร์สามารถประมาณได้โดยการคูณสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อนด้วยความแตกต่างของอุณหภูมิสูงสุดที่คาดไว้
Ruck, S., Köhler, S., Schlindwein, G. และ Arbeiter, F. การวัดการถ่ายเทความร้อนและการลดลงของความดันในช่องที่มีพื้นผิวขรุขระด้วยครีบรูปทรงต่างๆ บนผนัง expert.Heat Transfer 31, 334–354 (2017)
Wu, L., Arenas, L., Graves, J. และ Walsh, F. การกำหนดลักษณะเฉพาะของเซลล์ไหล: การแสดงภาพการไหล การลดลงของความดัน และการขนส่งมวลในอิเล็กโทรดสองมิติในช่องสี่เหลี่ยมผืนผ้า J. Electrochemistry.Socialist Party.167, 043505 (2020)
Liu, S., Dou, X., Zeng, Q. & Liu, J. พารามิเตอร์สำคัญของปรากฏการณ์ Jamin ในเส้นเลือดฝอยที่มีหน้าตัดแคบ J. Gasoline.science.Britain.196, 107635 (2021)