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प्रयोगों को चार झुकी हुई बेलनाकार छड़ों की अनुप्रस्थ रेखाओं द्वारा अवरुद्ध एक आयताकार चैनल में किया गया था। छड़ के झुकाव कोण को बदलकर केंद्र की छड़ की सतह पर दबाव और चैनल में दबाव में गिरावट को मापा गया था। तीन अलग-अलग व्यास की छड़ असेंबलियों का परीक्षण किया गया था। माप परिणामों का विश्लेषण गति के संरक्षण के सिद्धांत और अर्ध-अनुभवजन्य विचारों का उपयोग करके किया जाता है। आयामहीन मापदंडों के कई अपरिवर्तनीय सेट उत्पन्न होते हैं जो सिस्टम के महत्वपूर्ण स्थानों पर दबाव को छड़ के विशिष्ट आयामों से जोड़ते हैं। स्वतंत्रता सिद्धांत को विभिन्न स्थानों पर दबाव की विशेषता वाले अधिकांश यूलर संख्याओं के लिए मान्य पाया गया है, यानी अगर छड़ के सामान्य इनलेट वेग के प्रक्षेपण का उपयोग करके दबाव आयामहीन है, तो सेट डिप कोण से स्वतंत्र है। परिणामी अर्ध-अनुभवजन्य सहसंबंध का उपयोग समान हाइड्रोलिक्स के डिजाइन के लिए किया जा सकता है।
कई ऊष्मा और द्रव्यमान स्थानांतरण उपकरणों में मॉड्यूल, चैनल या कोशिकाओं का एक सेट होता है, जिसके माध्यम से तरल पदार्थ कम या ज्यादा जटिल आंतरिक संरचनाओं जैसे छड़, बफर, इन्सर्ट आदि से गुजरते हैं। हाल ही में, आंतरिक दबाव वितरण और जटिल आंतरिक पर बलों को मॉड्यूल के समग्र दबाव ड्रॉप से ​​जोड़ने वाले तंत्रों की बेहतर समझ हासिल करने में नए सिरे से रुचि पैदा हुई है। अन्य चीजों के अलावा, यह रुचि सामग्री विज्ञान में नवाचारों, संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए कम्प्यूटेशनल क्षमताओं के विस्तार और उपकरणों के बढ़ते लघुकरण से बढ़ी है। दबाव के आंतरिक वितरण और नुकसान के हाल के प्रयोगात्मक अध्ययनों में विभिन्न आकार की पसलियों 1, इलेक्ट्रोकेमिकल रिएक्टर कोशिकाओं 2, केशिका कसना 3 और जाली फ्रेम सामग्री 4 द्वारा खुरदरे चैनल शामिल हैं।
सबसे आम आंतरिक संरचनाएं यकीनन इकाई मॉड्यूल के माध्यम से बेलनाकार छड़ें हैं, जो या तो बंडल या अलग-थलग हैं। ताप एक्सचेंजर्स में, यह विन्यास शेल की तरफ विशिष्ट है। शेल साइड प्रेशर ड्रॉप हीट एक्सचेंजर्स जैसे स्टीम जनरेटर, कंडेनसर और इवेपोरेटर के डिजाइन से संबंधित है। हाल के एक अध्ययन में, वांग एट अल। 5 ने छड़ों के एक अग्रानुक्रम विन्यास में पुन: जुड़ाव और सह-अलगाव प्रवाह की स्थिति पाई। लियू एट अल। 6 ने विभिन्न झुकाव कोणों के साथ अंतर्निर्मित डबल यू-आकार की ट्यूब बंडलों के साथ आयताकार चैनलों में दबाव ड्रॉप को मापा और छिद्रपूर्ण मीडिया के साथ रॉड बंडलों का अनुकरण करने वाले एक संख्यात्मक मॉडल को कैलिब्रेट किया।
जैसी कि उम्मीद थी, ऐसे कई विन्यास कारक हैं जो एक सिलेंडर बैंक के हाइड्रोलिक प्रदर्शन को प्रभावित करते हैं: व्यवस्था का प्रकार (उदाहरण के लिए, कंपित या इन-लाइन), सापेक्ष आयाम (उदाहरण के लिए, पिच, व्यास, लंबाई) और झुकाव कोण, अन्य के बीच। कई लेखकों ने ज्यामितीय मापदंडों के संयुक्त प्रभावों को पकड़ने के लिए डिजाइनों का मार्गदर्शन करने हेतु आयामहीन मानदंडों को खोजने पर ध्यान केंद्रित किया। हाल ही के एक प्रायोगिक अध्ययन में, किम एट अल। 7 ने एक नियंत्रण पैरामीटर के रूप में यूनिट सेल की लंबाई का उपयोग करके एक प्रभावी छिद्रण मॉडल का प्रस्ताव दिया, जिसमें 103 और 104 के बीच टेंडम और कंपित सरणियों और रेनॉल्ड्स संख्याओं का उपयोग किया गया। स्नार्स्की8 ने अध्ययन किया कि कैसे एक जल सुरंग में एक सिलेंडर से जुड़े एक्सेलेरोमीटर और हाइड्रोफोन से पावर स्पेक्ट्रम, प्रवाह दिशा के झुकाव के साथ बदलता है। 11 ने टेंडम सिलेंडरों का एक व्यापक अध्ययन किया, जिसमें भंवर बहाव पर रेनॉल्ड्स संख्या और ज्यामितीय अनुपात के प्रभावों पर ध्यान केंद्रित किया गया। वे पांच अवस्थाओं की पहचान करने में सक्षम थे, अर्थात् लॉकिंग, आंतरायिक लॉकिंग, कोई लॉकिंग नहीं, सबहार्मोनिक लॉकिंग और कतरनी परत पुनःसंलग्नता अवस्थाएं। हाल के संख्यात्मक अध्ययनों ने प्रतिबंधित यॉ सिलेंडरों के माध्यम से प्रवाह में भंवर संरचनाओं के गठन की ओर इशारा किया है।
सामान्य तौर पर, एक इकाई सेल का हाइड्रोलिक प्रदर्शन आंतरिक संरचना के विन्यास और ज्यामिति पर निर्भर करता है, जिसे आमतौर पर विशिष्ट प्रयोगात्मक मापों के अनुभवजन्य सहसंबंधों द्वारा निर्धारित किया जाता है। आवधिक घटकों से बने कई उपकरणों में, प्रत्येक सेल में प्रवाह पैटर्न दोहराए जाते हैं, और इस प्रकार, प्रतिनिधि कोशिकाओं से संबंधित जानकारी का उपयोग मल्टीस्केल मॉडल के माध्यम से संरचना के समग्र हाइड्रोलिक व्यवहार को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। इन सममित मामलों में, विशिष्टता की डिग्री जिसके साथ सामान्य संरक्षण सिद्धांतों को लागू किया जाता है, अक्सर कम हो सकती है। एक विशिष्ट उदाहरण एक छिद्र प्लेट 15 के लिए निर्वहन समीकरण है। झुकी हुई छड़ों के विशेष मामले में, चाहे सीमित या खुले प्रवाह में, साहित्य में अक्सर उद्धृत और डिजाइनरों द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक दिलचस्प मानदंड प्रमुख हाइड्रोलिक परिमाण (जैसे, दबाव ड्रॉप, बल, भंवर बहाव आवृत्ति, आदि) है।) सिलेंडर अक्ष के लंबवत प्रवाह घटक से संपर्क करें। इसे अक्सर स्वतंत्रता सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है और यह मानता है कि प्रवाह की गतिशीलता मुख्य रूप से अंतर्वाह सामान्य घटक द्वारा संचालित होती है और सिलेंडर अक्ष के साथ संरेखित अक्षीय घटक का प्रभाव नगण्य होता है। इस मानदंड की वैधता सीमा पर उपलब्ध साहित्य, कई मामलों में यह अनुभवजन्य सहसंबंधों की विशिष्ट प्रयोगात्मक अनिश्चितताओं के भीतर उपयोगी अनुमान प्रदान करता है। स्वतंत्र सिद्धांत की वैधता पर हाल के अध्ययनों में भंवर-प्रेरित कंपन16 और एकल-चरण और दो-चरण औसत ड्रैग417 शामिल हैं।
वर्तमान कार्य में, चार झुकी हुई बेलनाकार छड़ों की अनुप्रस्थ रेखा वाले चैनल में आंतरिक दबाव और दबाव ड्रॉप के अध्ययन के परिणाम प्रस्तुत किए गए हैं। झुकाव के कोण को बदलते हुए, विभिन्न व्यास वाले तीन रॉड असेंबलियों को मापें। समग्र लक्ष्य उस तंत्र की जांच करना है जिसके द्वारा रॉड की सतह पर दबाव वितरण चैनल में समग्र दबाव ड्रॉप से ​​संबंधित है। स्वतंत्रता सिद्धांत की वैधता का मूल्यांकन करने के लिए बर्नौली के समीकरण और गति के संरक्षण के सिद्धांत को लागू करके प्रायोगिक डेटा का विश्लेषण किया जाता है। अंत में, आयामहीन अर्ध-अनुभवजन्य सहसंबंध उत्पन्न होते हैं जिनका उपयोग समान हाइड्रोलिक उपकरणों को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है।
प्रायोगिक सेटअप में एक आयताकार परीक्षण खंड शामिल था, जो एक अक्षीय पंखे द्वारा प्रदान किए गए वायु प्रवाह को प्राप्त करता था। परीक्षण खंड में एक इकाई होती है जिसमें दो समानांतर केंद्रीय छड़ें और चैनल की दीवारों में एम्बेडेड दो अर्ध-छड़ें होती हैं, जैसा कि चित्र 1e में दिखाया गया है, सभी एक ही व्यास की हैं। चित्र 1a-e प्रायोगिक सेटअप के प्रत्येक भाग की विस्तृत ज्यामिति और आयाम दिखाते हैं। चित्र 3 प्रक्रिया सेटअप को दर्शाता है।
a इनलेट सेक्शन (लंबाई मिमी में)। बनाएँ b Openscad 2021.01, openscad.org का उपयोग करके। मुख्य परीक्षण सेक्शन (लंबाई मिमी में)। Openscad 2021.01, openscad.org के साथ बनाया गया c मुख्य परीक्षण सेक्शन का क्रॉस-सेक्शनल दृश्य (लंबाई मिमी में)। Openscad 2021.01, openscad.org का उपयोग करके बनाया गया d निर्यात सेक्शन (लंबाई मिमी में)। Openscad 2021.01, openscad.org के परीक्षण सेक्शन का विस्फोटित दृश्य e. Openscad 2021.01, openscad.org के साथ बनाया गया।
विभिन्न व्यासों की छड़ों के तीन सेटों का परीक्षण किया गया। तालिका 1 में प्रत्येक मामले की ज्यामितीय विशेषताओं को सूचीबद्ध किया गया है। छड़ों को एक प्रोट्रैक्टर पर रखा गया है ताकि प्रवाह दिशा के सापेक्ष उनका कोण 90 डिग्री और 30 डिग्री (आंकड़े 1 बी और 3) के बीच भिन्न हो सके। सभी छड़ें स्टेनलेस स्टील से बनी हैं और उनके बीच समान अंतराल बनाए रखने के लिए उन्हें केंद्रित किया गया है। छड़ों की सापेक्ष स्थिति परीक्षण खंड के बाहर स्थित दो स्पेसरों द्वारा तय की जाती है।
परीक्षण खंड के इनलेट प्रवाह दर को एक कैलिब्रेटेड वेंचुरी द्वारा मापा गया था, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है, और डीपी सेल हनीवेल एससीएक्स का उपयोग करके निगरानी की गई थी। परीक्षण खंड के आउटलेट पर द्रव का तापमान पीटी 100 थर्मामीटर से मापा गया था और 45 ± 1 डिग्री सेल्सियस पर नियंत्रित किया गया था। एक समतल वेग वितरण सुनिश्चित करने और चैनल के प्रवेश पर अशांति के स्तर को कम करने के लिए, आने वाले पानी के प्रवाह को तीन धातु स्क्रीन के माध्यम से मजबूर किया जाता है। अंतिम स्क्रीन और रॉड के बीच लगभग 4 हाइड्रोलिक व्यास की एक निपटान दूरी का उपयोग किया गया था, और आउटलेट की लंबाई 11 हाइड्रोलिक व्यास थी।
इनलेट प्रवाह वेग (मिलीमीटर में लंबाई) को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले वेंचुरी ट्यूब का योजनाबद्ध आरेख। Openscad 2021.01, openscad.org के साथ बनाया गया।
परीक्षण खंड के मध्य तल पर 0.5 मिमी दबाव नल के माध्यम से केंद्र रॉड के चेहरों में से एक पर दबाव की निगरानी करें। नल का व्यास 5 डिग्री कोणीय फैलाव से मेल खाता है; इसलिए कोणीय सटीकता लगभग 2 डिग्री है। निगरानी की गई रॉड को इसकी धुरी के चारों ओर घुमाया जा सकता है, जैसा कि चित्रा 3 में दिखाया गया है। रॉड सतह के दबाव और परीक्षण खंड के प्रवेश द्वार पर दबाव के बीच का अंतर एक अंतर डीपी सेल हनीवेल एससीएक्स श्रृंखला के साथ मापा जाता है। यह दबाव अंतर प्रत्येक बार व्यवस्था, अलग-अलग प्रवाह वेग, झुकाव कोण \(\alpha \) और एजिमुथ कोण \(\theta \) के लिए मापा जाता है।
प्रवाह सेटिंग्स। चैनल की दीवारें ग्रे रंग में दिखाई गई हैं। प्रवाह बाएं से दाएं बहता है और रॉड द्वारा अवरुद्ध होता है। ध्यान दें कि दृश्य "ए" रॉड अक्ष के लंबवत है। बाहरी छड़ें पार्श्व चैनल की दीवारों में अर्ध-एम्बेडेड हैं। झुकाव के कोण को मापने के लिए एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग किया जाता है \(\alpha \)। Openscad 2021.01, openscad.org के साथ बनाया गया।
प्रयोग का उद्देश्य चैनल इनलेट के बीच दबाव ड्रॉप और विभिन्न एजिमुथ और डिप्स के लिए केंद्र रॉड, \(\theta\) और \(\alpha\) की सतह पर दबाव को मापना और व्याख्या करना है। परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, विभेदक दबाव को यूलर की संख्या के रूप में आयामहीन रूप में व्यक्त किया जाएगा:
जहां \(\rho \) द्रव घनत्व है, \({u}_{i}\) औसत इनलेट वेग है, \({p}_{i}\) इनलेट दबाव है, और \({p }_{ w}\) रॉड की दीवार पर दिए गए बिंदु पर दबाव है। इनलेट वेग इनलेट वाल्व के उद्घाटन द्वारा निर्धारित तीन अलग-अलग श्रेणियों के भीतर तय किया गया है। परिणामी वेग 6 से 10 मीटर/सेकेंड तक होता है, जो चैनल रेनॉल्ड्स संख्या के अनुरूप होता है, \(Re\equiv {u}_{i}H/\nu \) (जहां \(H\) चैनल की ऊंचाई है, और \(\nu \) गतिज चिपचिपापन है) 40,000 और 67,000 के बीच है। रॉड रेनॉल्ड्स संख्या (\(Re\equiv {u}_{i}d/\nu \)) 2500 से 6500 तक होती है वेंचुरी में दर्ज सिग्नलों की औसत दर 5% है।
चित्र 4 में \({Eu}_{w}\) का दिगंश कोण \(\theta \) के साथ सहसंबंध दिखाया गया है, जिसे तीन नमन कोणों, \(\alpha \) = 30°, 50° और 70° द्वारा पैरामीटर किया गया है। माप को छड़ के व्यास के अनुसार तीन ग्राफ़ में विभाजित किया गया है। यह देखा जा सकता है कि प्रायोगिक अनिश्चितता के भीतर, प्राप्त यूलर संख्या प्रवाह दर से स्वतंत्र हैं। θ पर सामान्य निर्भरता एक गोलाकार बाधा की परिधि के चारों ओर दीवार के दबाव की सामान्य प्रवृत्ति का अनुसरण करती है। प्रवाह-सामने वाले कोणों पर, यानी, 0 से 90° तक θ, छड़ की दीवार का दबाव कम हो जाता है, 90° पर न्यूनतम तक पहुंच जाता है, जो छड़ों के बीच के अंतर से मेल खाता है जहां प्रवाह क्षेत्र की सीमाओं के कारण वेग सबसे अधिक होता है। न्यूनतम दबाव के कोण में, जो यह सुझाव देता है कि निकटवर्ती कतरनी परतों से संभावित गड़बड़ी, जैसे कि कोंडा प्रभाव, गौण हैं।
विभिन्न झुकाव कोणों और छड़ व्यासों के लिए छड़ के चारों ओर की दीवार की यूलर संख्या में परिवर्तन। Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
निम्नलिखित में, हम इस धारणा के आधार पर परिणामों का विश्लेषण करते हैं कि यूलर संख्याओं का अनुमान केवल ज्यामितीय मापदंडों, यानी फीचर लंबाई अनुपात \(d/g\) और \(d/H\) (जहां \(H\) चैनल की ऊंचाई है) और झुकाव \(\alpha \) द्वारा लगाया जा सकता है। एक लोकप्रिय व्यावहारिक नियम बताता है कि यॉ रॉड पर द्रव संरचनात्मक बल रॉड अक्ष के लंबवत इनलेट वेग के प्रक्षेपण द्वारा निर्धारित होता है, \({u}_{n}={u}_{i}\mathrm {sin} \alpha \)। इसे कभी-कभी स्वतंत्रता का सिद्धांत कहा जाता है। निम्नलिखित विश्लेषण का एक लक्ष्य यह जांचना है कि क्या यह सिद्धांत हमारे मामले में लागू होता है, जहां प्रवाह और अवरोध बंद चैनलों के भीतर सीमित हैं।
आइए मध्यवर्ती छड़ सतह के सामने मापे गए दबाव पर विचार करें, अर्थात θ = 0. बर्नौली के समीकरण के अनुसार, इस स्थिति पर दबाव\({p}_{o}\) संतुष्ट करता है:
जहां \({u}_{o}\) θ = 0 पर रॉड की दीवार के पास द्रव का वेग है, और हम अपेक्षाकृत छोटे अपरिवर्तनीय नुकसान मानते हैं। ध्यान दें कि गतिज ऊर्जा शब्द में गतिशील दबाव स्वतंत्र है। यदि \({u}_{o}\) रिक्त है (यानी स्थिर स्थिति), तो यूलर संख्याएं एकीकृत होनी चाहिए। हालांकि, यह चित्रा 4 में देखा जा सकता है कि \(\theta = 0\) पर परिणामी \({Eu}_{w}\) इस मूल्य के करीब है, लेकिन बिल्कुल बराबर नहीं है, खासकर बड़े डुबकी कोणों के लिए। इससे पता चलता है कि रॉड की सतह पर वेग \(\theta = 0\) पर लुप्त नहीं होता है, जिसे रॉड झुकाव द्वारा बनाई गई वर्तमान रेखाओं के ऊपर की ओर विक्षेपण द्वारा दबाया जा सकता है। चूंकि प्रवाह परीक्षण खंड के ऊपर और नीचे तक ही सीमित है, इसलिए इस विक्षेपण को एक द्वितीयक पुनःपरिसंचरण बनाना चाहिए, शाफ्ट पर इनलेट वेग (अर्थात \({u}_{i}\mathrm{cos}\alpha \)), संगत यूलर संख्या परिणाम है:
चित्र 5 समीकरणों की तुलना करता है। (3) यह संगत प्रायोगिक डेटा के साथ अच्छा समझौता दर्शाता है। औसत विचलन 25% था, और विश्वास स्तर 95% था। ध्यान दें कि समीकरण। (3) स्वतंत्रता के सिद्धांत के अनुरूप है। इसी तरह, चित्र 6 से पता चलता है कि यूलर संख्या रॉड की पिछली सतह पर दबाव से मेल खाती है, \({p}_{180}\), और परीक्षण खंड के निकास पर, \({p}_{e}\), यह भी \({\mathrm{sin}}^{2}\alpha \) के समानुपातिक प्रवृत्ति का अनुसरण करता है। हालांकि, दोनों मामलों में, गुणांक रॉड व्यास पर निर्भर करता है, जो उचित है क्योंकि बाद वाला बाधित क्षेत्र निर्धारित करता है। यह विशेषता एक छिद्र प्लेट के दबाव ड्रॉप के समान है, जहां प्रवाह चैनल विशिष्ट स्थानों पर आंशिक रूप से कम हो जाता है। इस परीक्षण अनुभाग में, छड़ के बीच के अंतर द्वारा छिद्र की भूमिका निभाई जाती है। इस मामले में, दबाव थ्रॉटलिंग पर काफी हद तक कम हो जाता है और विस्तार के रूप में आंशिक रूप से ठीक हो जाता है। पीछे की ओर। प्रतिबंध को रॉड अक्ष के लंबवत अवरोध के रूप में मानते हुए, रॉड के आगे और पीछे के बीच दबाव ड्रॉप को 18 के रूप में लिखा जा सकता है:
जहाँ \({c}_{d}\) ड्रैग गुणांक है जो θ = 90° और θ = 180° के बीच आंशिक दबाव रिकवरी को समझाता है, और \({A}_{m}\) और \ ({A}_{f}\) रॉड अक्ष के लंबवत प्रति इकाई लंबाई में न्यूनतम मुक्त क्रॉस-सेक्शन है, और रॉड व्यास के साथ इसका संबंध \({A}_{f}/{A}_{m}=\ ​​बायाँ (g+d\right)/g\) है। संबंधित यूलर संख्याएँ हैं:
\(\theta =0\) पर दीवार यूलर संख्या नति के एक फलन के रूप में। यह वक्र समीकरण (3) से संगत है। Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
दीवार यूलर संख्या में परिवर्तन, \(\theta =18{0}^{o}\) (पूर्ण चिह्न) और निकास (खाली चिह्न) में डुबकी के साथ होता है। ये वक्र स्वतंत्रता के सिद्धांत के अनुरूप हैं, अर्थात \(Eu\propto {\mathrm{sin}}^{2}\alpha \)। Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
चित्र 7 में \({Eu}_{0-180}/{\mathrm{sin}}^{2}\alpha \) की \(d/g\) पर निर्भरता को दर्शाया गया है, जो अत्यंत अच्छी संगति को दर्शाता है।(5)।प्राप्त ड्रैग गुणांक \({c}_{d}=1.28\pm 0.02\) है, जिसका विश्वास स्तर 67% है।इसी तरह, वही ग्राफ यह भी दर्शाता है कि परीक्षण खंड के इनलेट और आउटलेट के बीच कुल दबाव ड्रॉप एक समान प्रवृत्ति का अनुसरण करता है, लेकिन विभिन्न गुणांकों के साथ जो बार और चैनल के आउटलेट के बीच पीछे के स्थान में दबाव रिकवरी को ध्यान में रखते हैं।संबंधित ड्रैग गुणांक \({c}_{d}=1.00\pm 0.05\) है, जिसका विश्वास स्तर 67% है।
ड्रैग गुणांक रॉड के आगे और पीछे \(d/g\) दबाव ड्रॉप\(\left({Eu}_{0-180}\right)\) और चैनल इनलेट और आउटलेट के बीच कुल दबाव ड्रॉप से ​​संबंधित है। ग्रे क्षेत्र सहसंबंध के लिए 67% विश्वास बैंड है। Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
θ = 90° पर छड़ की सतह पर न्यूनतम दबाव \({p}_{90}\) को विशेष हैंडलिंग की आवश्यकता होती है। बर्नौली के समीकरण के अनुसार, सलाखों के बीच के अंतराल के माध्यम से वर्तमान रेखा के साथ, केंद्र में दबाव \({p}_{g}\) और सलाखों के बीच के अंतराल में वेग \({u}_{g}\) (चैनल के मध्य बिंदु के साथ मेल खाता है) निम्नलिखित कारकों से संबंधित है:
दबाव \({p}_{g}\) को θ = 90° पर रॉड सतह के दबाव से संबंधित किया जा सकता है, मध्य बिंदु और दीवार के बीच केंद्रीय रॉड को अलग करने वाले अंतराल पर दबाव वितरण को एकीकृत करके (चित्र 8 देखें)। शक्ति संतुलन 19 देता है:
जहां \(y\) केंद्रीय छड़ों के बीच अंतराल के केंद्र बिंदु से छड़ की सतह के लिए सामान्य निर्देशांक है, और \(K\) स्थिति \(y\) पर वर्तमान रेखा की वक्रता है। छड़ की सतह पर दबाव के विश्लेषणात्मक मूल्यांकन के लिए, हम मानते हैं कि \({u}_{g}\) एकसमान है और \(K\left(y\right)\) रैखिक है। इन मान्यताओं को संख्यात्मक गणनाओं द्वारा सत्यापित किया गया है। छड़ की दीवार पर, वक्रता कोण \(\alpha \) पर छड़ के दीर्घवृत्त अनुभाग द्वारा निर्धारित की जाती है, यानी \(K\left(g/2\right)=\left(2/d\right){\ mathrm{sin} }^{2}\alpha \) (चित्र 8 देखें)। फिर, समरूपता के कारण \(y=0\) पर लुप्त होने वाली धारारेखा की वक्रता के संबंध में,
फ़ीचर क्रॉस-सेक्शनल दृश्य, सामने (बाएं) और ऊपर (नीचे)। Microsoft Word 2019 के साथ बनाया गया,
दूसरी ओर, द्रव्यमान के संरक्षण से, माप स्थान \(\langle {u}_{g}\rangle \) पर प्रवाह के लंबवत तल में औसत वेग इनलेट वेग से संबंधित है:
जहाँ \({A}_{i}\) चैनल इनलेट पर अनुप्रस्थ काट प्रवाह क्षेत्र है और \({A}_{g}\) माप स्थान पर अनुप्रस्थ काट प्रवाह क्षेत्र है (चित्र 8 देखें) क्रमशः:
ध्यान दें कि \({u}_{g}\) \(\langle {u}_{g}\rangle \) के बराबर नहीं है। वास्तव में, चित्र 9 समीकरण (10)-(14) द्वारा गणना की गई गति अनुपात \({u}_{g}/\langle {u}_{g}\rangle \) को दर्शाता है, जिसे अनुपात \(d/g\) के अनुसार प्लॉट किया गया है। कुछ विसंगति के बावजूद, एक प्रवृत्ति की पहचान की जा सकती है, जिसे दूसरे क्रम के बहुपद द्वारा अनुमानित किया जाता है:
चैनल केंद्र क्रॉस-सेक्शन के अधिकतम\({u}_{g}\) और औसत\(\langle {u}_{g}\rangle \) वेगों का अनुपात\(.\) ठोस और धराशायी वक्र समीकरणों के अनुरूप हैं।(5) और संबंधित गुणांकों की भिन्नता सीमा\(\pm 25\%\).Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
चित्र 10 समीकरण(16) के प्रायोगिक परिणामों के साथ \({Eu}_{90}\) की तुलना करता है। औसत सापेक्ष विचलन 25% था, और विश्वास स्तर 95% था।
\(\theta ={90}^{o}\) पर वॉल यूलर संख्या। यह वक्र समीकरण (16) से मेल खाता है। Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
केंद्रीय छड़ पर उसकी धुरी के लंबवत कार्य करने वाले शुद्ध बल \({f}_{n}\) की गणना छड़ की सतह पर दबाव को एकीकृत करके निम्नानुसार की जा सकती है:
जहाँ पहला गुणांक चैनल के भीतर रॉड की लंबाई है, और एकीकरण 0 और 2π के बीच किया जाता है।
जल प्रवाह की दिशा में \({f}_{n}\) का प्रक्षेपण चैनल के इनलेट और आउटलेट के बीच दबाव से मेल खाना चाहिए, जब तक कि रॉड के समानांतर घर्षण और बाद के खंड के अधूरे विकास के कारण गति प्रवाह असंतुलित न हो। इसलिए,
चित्र 11 समीकरणों का ग्राफ दिखाता है। (20) ने सभी प्रयोगात्मक स्थितियों के लिए अच्छा समझौता दिखाया। हालांकि, दाईं ओर थोड़ा सा 8% विचलन है, जिसे चैनल इनलेट और आउटलेट के बीच गति असंतुलन के अनुमान के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
चैनल शक्ति संतुलन। रेखा समीकरण से मेल खाती है।(20)। पियर्सन सहसंबंध गुणांक 0.97 था। Gnuplot 5.4, www.gnuplot.info के साथ बनाया गया।
छड़ के झुकाव कोण को बदलते हुए, छड़ की सतह की दीवार पर दबाव और चार झुकी हुई बेलनाकार छड़ों की अनुप्रस्थ रेखाओं के साथ चैनल में दबाव में गिरावट को मापा गया। तीन अलग-अलग व्यास की छड़ असेंबलियों का परीक्षण किया गया। परीक्षण किए गए रेनॉल्ड्स संख्या रेंज में, 2500 और 6500 के बीच, यूलर संख्या प्रवाह दर से स्वतंत्र है। केंद्रीय छड़ की सतह पर दबाव सिलेंडरों में देखी गई सामान्य प्रवृत्ति का अनुसरण करता है, जो आगे की ओर अधिकतम और छड़ों के बीच पार्श्व अंतराल पर न्यूनतम होता है, सीमा परत पृथक्करण के कारण पीछे के भाग में ठीक हो जाता है।
प्रयोगात्मक डेटा का विश्लेषण गति संरक्षण विचारों और अर्ध-अनुभवजन्य मूल्यांकनों का उपयोग करके किया जाता है ताकि अपरिवर्तनीय आयामहीन संख्याएं मिल सकें जो यूलर संख्याओं को चैनलों और छड़ों के विशिष्ट आयामों से संबंधित करती हैं। अवरोधन की सभी ज्यामितीय विशेषताओं को छड़ के व्यास और छड़ों (पार्श्व) के बीच के अंतराल और चैनल की ऊंचाई (ऊर्ध्वाधर) के बीच के अनुपात द्वारा पूरी तरह से दर्शाया जाता है।
स्वतंत्रता सिद्धांत विभिन्न स्थानों पर दबाव की विशेषता बताने वाले अधिकांश यूलर संख्याओं के लिए मान्य पाया गया है, अर्थात यदि दबाव रॉड के सामान्य इनलेट वेग के प्रक्षेपण का उपयोग करके आयामहीन है, तो सेट डिप कोण से स्वतंत्र है। इसके अलावा, यह विशेषता प्रवाह के द्रव्यमान और गति से संबंधित है। संरक्षण समीकरण सुसंगत हैं और उपरोक्त अनुभवजन्य सिद्धांत का समर्थन करते हैं। केवल छड़ों के बीच अंतराल पर रॉड की सतह का दबाव इस सिद्धांत से थोड़ा विचलित होता है। आयामहीन अर्ध-अनुभवजन्य सहसंबंध उत्पन्न होते हैं जिनका उपयोग समान हाइड्रोलिक उपकरणों को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है। यह शास्त्रीय दृष्टिकोण हाल ही में हाइड्रोलिक्स और हेमोडायनामिक्स में बर्नौली समीकरण के समान अनुप्रयोगों की रिपोर्ट के अनुरूप है20,21,22,23,24।
परीक्षण खंड के इनलेट और आउटलेट के बीच दबाव ड्रॉप के विश्लेषण से एक विशेष रूप से दिलचस्प परिणाम सामने आया है। प्रयोगात्मक अनिश्चितता के भीतर, परिणामी ड्रैग गुणांक एकता के बराबर है, जो निम्नलिखित अपरिवर्तनीय मापदंडों के अस्तित्व को इंगित करता है:
समीकरण के हर में आकार \(\left(d/g+2\right)d/g\) पर ध्यान दें।(23) समीकरण में कोष्ठक में परिमाण है।(4), अन्यथा इसे छड़ के लंबवत न्यूनतम और मुक्त क्रॉस-सेक्शन, \({A}_{m}\) और \({A}_{f}\) के साथ गणना की जा सकती है। इससे पता चलता है कि रेनॉल्ड्स संख्या को वर्तमान अध्ययन की सीमा के भीतर रहने के लिए माना जाता है (चैनलों के लिए 40,000-67,000 और छड़ों के लिए 2500-6500)। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि चैनल के अंदर तापमान का अंतर है, तो यह द्रव घनत्व को प्रभावित कर सकता है। इस मामले में, यूलर संख्या में सापेक्ष परिवर्तन का अनुमान थर्मल विस्तार गुणांक को अधिकतम अपेक्षित तापमान अंतर से गुणा करके लगाया जा सकता है।
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